还是最速曲线 | 鸡汤过后的干货

前些日子，科普博览转发了一篇鸡汤文，很多读者表示看着文章都是含泪点赞的表情（就是这篇：两点之间最快的竟然不是直线？！）。今天请喝过鸡汤的粉丝们再吃下这枚“解药”！

说的就是这个最速曲线啦，别问我是哪一条，直接看图。

学了那么多年几何，“两点之间直线最短”都熟吧。当小蓝球以为自己在距离最短的斜坡上必将一马当先率先抵达终点的时候，却惊奇地发现，居然被小红球在速度上完全碾压！事实告诉你，什么叫欲速而不达！小蓝大呼：这不科学！

Ok，那么我们来说说，这是不是科学？

这个问题我们得从17世纪说起。当时瑞典涌现了一个伯（学）努（霸）利家族，什么伯努利原理和伯努利微分方程都是他们一家人的杰作。据说当时欧洲数学家们闲着没事，就喜欢自己琢磨难题，折磨自己也难为一下别人。最早的城会玩要数伯努利兄弟雅各布和约翰，哥俩分别提出了悬链线问题——两端固定的绳子（或链条）由于重力而自由下垂形成的曲线到底是什么形状和最速曲线问题——小球从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。

哥哥的问题来了，悬链线问题到底是个什么形状？是双曲线还是抛物线，你猜错了，是双曲余弦函数。悬链线问题看似简单，但是要解答出来可得利用微积分费一番功夫。

如此低调奢华有内涵的求解就为了让数学家们打发时间玩儿？图样图森破，你也太小看数学的应用了。工程上架设高压输电线和悬索桥，就常常用到悬链线，而倒悬链线也是拱顶设计的常用配备。骚年们，这下知道学建筑为什么要学好数理化了吧！

弟弟的最速曲线问题更是吸引了一众大神前来围观解答：英国的牛顿，德国的莱布尼茨以及法国的洛必塔，但约翰还是觉得自己的方法最简洁。他通过费马原理（好眼熟，光学里面学过啊，就是光程最短原理）的启发，把光换成质点，短短几个公式，就解出了答案——最速曲线实际上就是倒过来的摆线! （注意，文末有彩蛋!）摆线是啥，直接看图。

看见没，摆线就是圆上一个点在圆作匀速直线运动时的轨迹。最速曲线问题被视为数学史上第一个被仔细研究的变分问题，它导致了变分法的诞生，之后更开辟出“泛函分析”这一崭新广阔的数学领域。

老话说的好，独乐乐不如众乐乐。机智的人类可是把最速曲线这个数学家才能玩的游戏推广到了娱乐领域。大伙没玩过也应该见过过山车吧，为啥上坡的一段是直斜坡，而下降的时候都是曲线呢？就是因为上坡不追求速度，只追求最短的路径，但是下降的时候为了让玩家享受风驰电掣的感觉，就必须尽量加速。

另一个实例就是水上公园里的竞速滑道，现在你知道为啥这些滑道，包括常见的滑滑梯为什么都是曲面了吧。如果有哪家游乐园弄出个直道，那一定是初级滑道不解释。

在更加追求速度与激情的极限滑雪和滑板运动中，你也应该见不着直道，哪个设计师如果设计出直道的滑道，他一定是故意招黑，不仅不专业还不懂科学。真是设计不学数理化，造出个啥都可怕啊。

最后献给学霸们的彩蛋来了，最速曲线的推导公式奉上。

（这还不叫彩蛋，那留着给你做个作业呗？）

由能量守恒定律，可知小球的动能来源于重力势能的转化，因此有

其中m, v, y分别表示小球的质量，速度和下落高度，g为重力加速度。取一小段轨迹ds，并作如下图的坐标分解，利用费马原理，则有

其中θ为轨道切线与水平轴的夹角，vm为常数。假设小球从原点开始经过一段高度为D的垂直降落，则有

将以上三式联立求解，并利用近似条件下

的关系，即可得到表达式

这正是半径为D的球的倒摆线的微分表达式。

我们为大家列举的是约翰的推导过程，当然思路不止这一种，同学们可以参看参考文献1、2和4，尝试不同的求解方法。殊途同归，事实上很多事情是没有标准答案的，过程往往比结果更重要哦！

参考文献：

1. 《数理同源》-3-哪条路径最快？.

2. 维基百科：.

3. 维基百科：.

4.数学之美：两点之间最快的路径

来源：中科院物理所

扫描科普博览二维码

关注更多精彩